1986 yılında Yozgat ili Sorgun ilçesinde dünyaya gelen Babayiğit ilk ve orta eğitimini Yozgat’ta tamamladı. Lise eğitimini Erdoğan Akdağ Anadolu Öğretmen Lisesinde tamamladıktan sonra 2008 yılında Gazi Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Uluslararası İlişkiler bölümünden mezun olarak lisans eğitimini tamamladı. Ayrıca 2024 yılında Ankara Yıldırım Beyazıt Üniversitesi Hukuk Fakültesinden onur derecesi ile mezun olarak ikinci lisans eğitimini tamamladı.

2010 yılında Çalışma ve Sosyal Güvenlik Bakanlığı, Çalışma Genel Müdürlüğünde Çalışma Uzman Yardımcısı olarak göreve başlayan Babayiğit, 2013 yılında “İşgücü Göçü Yönetimi: Türkiye’de ve Avrupa Birliği’nde Göçmen İşgücü Politikaları” konulu uzmanlık tezinin kabulüyle Çalışma Uzmanı oldu.

Çalışma Genel Müdürlüğünde Mevzuat Daire Başkanlığı, Yabancıların Çalışma İzinleri Daire Başkanlığı ve İstihdam Politikaları Daire Başkanlığında görev yaptı.

4857 sayılı İş Kanunu başta olmak üzere Genel Müdürlüğün uygulamakla yükümlü olduğu mevzuat çalışmalarında, Kanun hazırlıklarında ve Türkiye Büyük Millet Meclisi süreçlerinde çalışan Babayiğit; bu dönemde Çalışma Meclisi, Üçlü Danışma Kurulu ve Asgari Ücret Tespit Komisyonu çalışmalarında da aktif olarak görev yaptı.

2021 yılında Türkiye Büyük Millet Meclisi Başkanlığı İnsan Kaynakları Başkanlığında geçici olarak görev aldı.

Haziran 2024’den itibaren Mevzuat Daire Başkanı ve Çalışma Hayatında Dönüşüm Daire Başkanlığı görevini vekâleten yürüttü. Şubat 2025'de Genel Müdür Yardımcılığına asaleten atanmıştır.

İyi derecede İngilizce bilen Babayiğit, evli ve bir çocuk babasıdır.